{"id":88484,"date":"2020-07-17T08:39:08","date_gmt":"2020-07-17T06:39:08","guid":{"rendered":"https:\/\/botland.com.pl\/blog\/filtr-kalmana-podstawy-teoretyczne\/"},"modified":"2024-09-03T14:38:58","modified_gmt":"2024-09-03T12:38:58","slug":"kalman-filter-theoretische-grundlage","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/botland.de\/blog\/kalman-filter-theoretische-grundlage\/","title":{"rendered":"Kalman-Filter – Theoretische Grundlage"},"content":{"rendered":"Lesezeit<\/span> 9<\/span> min.<\/span><\/span>\t\t
\n\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t

Ein breites Spektrum technischer Wissenschaften ben\u00f6tigt geeignete mathematische Werkzeuge, um eine Vielzahl von Ph\u00e4nomenen zu beschreiben. Sowohl Automatisierung, Robotik, Steuerungstheorie und -systeme, Elektronik, Elektroakustik, digitale Signalverarbeitung und verwandte Bereiche st\u00fctzen sich auf lineare Algebra, Operatorenkalk\u00fcl, genetische Algorithmen, numerische Methoden sowie Fuzzy-Logik und andere Zweige der Mathematik. Neben den in den technischen Wissenschaften beliebten mathematischen Werkzeugen wie der Laplace-Transformation, der Z-Transformation oder der Finite-Elemente-Methode sticht vor allem ein Algorithmus hervor, der unter anderem die Weltraumforschung revolutioniert hat, n\u00e4mlich der Kalman-Filter<\/strong>. Er ist eines der klassischen Sch\u00e4tzverfahren, das in Anwendungen wie der Signalverarbeitung, der Steuerung elektrischer Antriebe, autonomen Fahrzeugsteuerungssystemen und der Prozessorsteuerung in Computern eingesetzt wird. In der Fachliteratur wird der Kalman-Filter meist in spezifischen Anwendungsf\u00e4llen wie autonomen Robotern oder linearen automatischen Steuerungssystemen mit Gau\u00df-verteiltem Rauschen beschrieben, was es sehr schwierig macht, das Thema von der grunds\u00e4tzlichen Seite her transparent darzustellen. Unser Artikel beschreibt den diskreten Kalman-Filter mit Hilfe der Vektor- und Matrizenrechnung und zeigt ein praktisches Beispiel f\u00fcr seine Anwendung. <\/p>\n

Was ist ein Kalman-Filter?<\/h3>\n

Der Kalman-Filter ist ein spezieller Algorithmus, der in den fr\u00fchen 1960er Jahren von Rudolf Emil Kalman<\/strong> (1930-2016), einem ungarisch-amerikanischen Elektroingenieur, entwickelt und vorgestellt wurde. Wir k\u00f6nnen den Kalman-Filter in jeder Anwendung einsetzen, bei der die Zuverl\u00e4ssigkeit der Informationen \u00fcber die Parameter dynamischer Systeme eingeschr\u00e4nkt ist. Dann k\u00f6nnen wir auch vorhersagen, welche Ereignisse als n\u00e4chstes eintreten k\u00f6nnten. Dies geschieht auf der Grundlage der bisher gesammelten Informationen. Dabei werden viele bedingte Faktoren ber\u00fccksichtigt, die sich \u00e4ndern und einen erheblichen Einfluss auf das Ergebnis des Automatisierungssystems haben k\u00f6nnen, in dem der Kalman-Filter eingesetzt wird. Dieser Algorithmus eignet sich hervorragend f\u00fcr dynamische Systeme, bei denen sich die Parameter st\u00e4ndig \u00e4ndern und die keinen gro\u00dfen Speicherplatz ben\u00f6tigen, um ordnungsgem\u00e4\u00df zu funktionieren, sondern nur den Zustand des Systems vor dem n\u00e4chsten. Ein wichtiger Faktor, der daf\u00fcr spricht, ist die hohe Geschwindigkeit des Algorithmus, wodurch er erfolgreich in Echtzeitanwendungen und eingebetteten Systemen eingesetzt werden kann. <\/p>\n

Kalman-Filter – in welchen Anwendungen lohnt sich der Einsatz?<\/h3>\n

Bevor wir den Algorithmus erl\u00e4utern, der das Prinzip des Kalman-Filters zeigt, werden wir ein Hardware-Beispiel f\u00fcr seine Anwendung verwenden, n\u00e4mlich einen Roboter, der durch dicht bewaldete Gebiete navigieren kann. Er muss seine genaue Position kennen, damit das eingebaute Navigationssystem richtig funktioniert. <\/p>\n

Wir k\u00f6nnen also sagen, dass unser Roboter durch eine Zustandsvariable xk<\/span>, <\/span> definiert ist, die durch einen Vektor mit zwei Komponenten – Position p und <\/span>Geschwindigkeit v<\/span>–<\/span> definiert ist:<\/span><\/p>\n

\"\"(3.1)<\/p>\n

Der Zustand des Systems wird durch numerische Daten bestimmt, die seine Grundkonfiguration definieren, und dies k\u00f6nnen numerische Daten f\u00fcr beliebige Gr\u00f6\u00dfen sein. In unserem Fall sind diese Gr\u00f6\u00dfen Position und Geschwindigkeit, aber bei anderen Systemen kann es sich auch um die verbleibende Kraftstoffmenge im Tank des Autos, die Temperatur der Spitze im Kolben der L\u00f6tstation, den Strom im Erregerkreis des Synchrongenerators und viele andere Parameter handeln, die je nach Anwendung Verfolgungswerte erfordern. Der Roboter in dem hier vorgestellten Beispiel ist mit einem GPS-Navigationssystem ausgestattet, das in der Lage ist, seine Koordinaten mit einer Genauigkeit von zehn Metern zu bestimmen. Dies ist ein zufriedenstellendes Ergebnis, aber aufgrund der Variabilit\u00e4t der verschiedenen Parameter des Gel\u00e4ndes, \u00fcber das sich der Roboter bewegt, muss das eingebaute GPS-System noch genauer sein. Im schlimmsten Fall k\u00f6nnte der Roboter bei einer Koordinatengenauigkeit von zehn Metern sogar in einen Abgrund st\u00fcrzen. <\/p>\n

Um den Weg eines Roboters genau zu bestimmen, m\u00fcssen die Parameter der einzelnen Signale, die seine Antriebseinheit steuern, bekannt sein. Dann “wei\u00df” das GPS-System, dass der Roboter, wenn er sich mit einer quasi-geradlinigen Bewegung fortbewegt, sich im n\u00e4chsten Schritt wahrscheinlich auf dieselbe Weise und in dieselbe Richtung weiterbewegen wird. Der Roboter erh\u00e4lt jedoch immer noch keine Informationen \u00fcber Umgebungsfaktoren, die seine Bewegung beeintr\u00e4chtigen k\u00f6nnen, z.B. Windb\u00f6en, rutschiger Boden sowie Unebenheiten des Gel\u00e4ndes und bisher nicht vorhergesehene Hindernisse auf der Stra\u00dfe (z.B. liegende \u00c4ste). Dann kann die Anzahl der Umdrehungen, die die R\u00e4der des Roboters auf der Stra\u00dfe machen, seine Bewegung falsch darstellen, was zu einer falschen Vorhersage des n\u00e4chsten Schrittes f\u00fchrt, der die Bewegung des Roboters beschreibt. <\/span> <\/p>\n

Die GPS-Sensoren liefern indirekte Informationen \u00fcber den Zustand des Systems (des Roboters), allerdings mit begrenzter Genauigkeit. Die GPS-Sensoren liefern indirekte Informationen \u00fcber den Zustand des Systems (des Roboters), jedoch mit begrenzter Genauigkeit. Es scheint jedoch, dass die von den GPS-Sensoren empfangenen Daten im Sch\u00e4tzungsprozess verwendet werden k\u00f6nnen, um Koordinatenmessungen mit h\u00f6herer Genauigkeit zu erhalten. Zu diesem Zweck hat sich unter anderem der als Kalman-Filter bekannte Algorithmus bew\u00e4hrt. <\/span><\/p>\n

Kalman-Filter – der Anfang des Algorithmus<\/h3>\n

Um den Kalman-Filter-Algorithmus zu beginnen, schreiben wir die Zustandsvektor-Gleichung (3.1) in Matrixform:<\/p>\n

\"\"(3.2)<\/p>\n

Wir kennen die aktuelle Position und Geschwindigkeit des Objekts nicht, denn es gibt eine endliche Menge, die den gesamten Bereich m\u00f6glicher Kombinationen von Position und Geschwindigkeit abdeckt, die sich als mit der Realit\u00e4t \u00fcbereinstimmend erweisen k\u00f6nnen, aber unter ihnen gibt es einige, die mehr oder weniger mit den tats\u00e4chlichen Werten \u00fcbereinstimmen. Der Algorithmus des Kalman-Filters geht davon aus, dass beide Zustandsvariablen (in dem untersuchten Fall sind dies die Position und die Geschwindigkeit des Objekts) gem\u00e4\u00df einer Gau\u00dfschen Verteilung (Normalverteilung) verteilt sind. Jede Variable hat einen Mittelwert, der in der Mitte der Zufallsverteilung liegt und auch der erwartete Wert ist, und eine Varianz, die die Messunsicherheit definiert. Auf den ersten Blick sind die Position und die Geschwindigkeit eines Objekts nicht miteinander verbunden, was bedeutet, dass die Information \u00fcber den Zustand einer einzelnen Variablen (eine Komponente des Zustandsvektors) nicht ausreicht, um die andere Variable zu bestimmen. Tats\u00e4chlich sind die Position und die Geschwindigkeit eines Objekts miteinander verbunden, d.h. die Wahrscheinlichkeit, einen bestimmten Wert der Variable zu beobachten, die die Position eines Objekts bestimmt, h\u00e4ngt von seiner Geschwindigkeit ab. <\/p>\n

Diese Situation kann z.B. auftreten, wenn Sie die vorherige Position eines Objekts kennen und versuchen, seine aktuelle Position zu bestimmen. Wenn die Geschwindigkeit des Objekts zu hoch ist, dann wird die n\u00e4chste Positionsmessung des Objekts weiter entfernt sein. Bewegt sich das Objekt dagegen mit einer geringeren Geschwindigkeit, dann zeigt die Positionsmessung im Vergleich zur vorherigen Messung eine geringere Entfernung des Objekts an als bei einer h\u00f6heren Geschwindigkeit. Die Beziehung zwischen der Position und der Geschwindigkeit eines Objekts ist bei der Verfolgung eines Objekts sehr wichtig, da sie wertvolle Informationen liefert – eine einzelne Parametermessung leitet die potenziellen Ergebnisse nachfolgender Messungen der gleichen Parameter. Dies ist der Hauptzweck des Kalman-Filter-Algorithmus – m\u00f6glichst viele der durch Messungenauigkeiten belasteten Daten zu sammeln, um ein m\u00f6glichst genaues Messergebnis zu erhalten. <\/b>Die Beziehung zwischen den Zustandsvariablen wird durch die Kovarianzmatrix und jedes in ihr enthaltene Element definiert. Das Element definiert dann den Grad der Korrelation zwischen der i Zustandsvariablen und der j Zustandsvariablen, wobei die Kovarianzmatrix eine quadratische Matrix ist, d. h. die Anzahl ihrer Zeilen ist gleich der Anzahl ihrer Spalten. <\/span><\/p>\n

Matrix-Notation<\/h3>\n

Um den Zustand eines Objekts zu modellieren, ist es hilfreich, die Matrixnotation mit Gau\u00dfscher Unsch\u00e4rfe zu verwenden – wir brauchen dann zwei Gleichungen, um den Zustand des Objekts f\u00fcr die K Messung.<\/span>x<\/span>k<\/sub> zu bestimmen ist ein Vektor von Mittelwerten (skalar), die die erwarteten Werte sind, und Pk<\/sub> ist die Kovarianzmatrix.<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

Im vorliegenden Fall sind die Zustandsvariablen die Position und die Geschwindigkeit des Objekts, aber es sei darauf hingewiesen, dass der Zustand durch eine beliebige Anzahl von Variablen beschrieben werden kann, die beliebige Parameter darstellen. Es ist dann notwendig, die Werte der Variablen f\u00fcr den aktuellen Zustand (zum Zeitpunkt k-1) zu notieren, um mit der Vorhersage der Werte f\u00fcr den Zustand zum Zeitpunkt k fortfahren zu k\u00f6nnen. Es ist nicht bekannt, welcher Zustand die tats\u00e4chlichen Parameter des Objekts widerspiegelt, aber das ist f\u00fcr den Vorhersageprozess irrelevant. Die Vorhersagephase kann mit Hilfe des Vektors Fk<\/sub> visualisiert werden. Jeder Punkt, der sich im aktuellen Schritt im Zustandsraum befindet, wird in eine neue Region verschoben – die Region der vorhergesagten Werte, in die sich das System bewegt, wenn der vorhergehende Zustandsraum korrekt lokalisiert wurde. Um den vorhergesagten Zustandsraum zu finden, wenn Sie die aktuellen Werte der Zustandsvariablen kennen, die die Position und die Geschwindigkeit bestimmen, verwenden Sie ein System von Gleichungen: <\/p>\n

\"\"<\/p>\n

Auf diese Weise erhalten wir eine Vorhersagematrix, die Informationen \u00fcber den n\u00e4chsten (nach k-1) Zustand (k) enth\u00e4lt. Es ist jedoch immer noch nicht klar, wie man die Kovarianzmatrix korrekt aktualisiert. Hier muss jeder Punkt, der in der Verteilung enthalten ist, mit der Matrix A multipliziert werden: <\/p>\n

\"\"<\/p>\n

Einfluss von externen Faktoren<\/h3>\n

In diesem Stadium sind noch nicht alle Faktoren ber\u00fccksichtigt. Dabei handelt es sich um Faktoren, die nicht direkt mit den Eigenschaften des untersuchten Systems zusammenh\u00e4ngen, sondern unabh\u00e4ngig davon auftreten, aber ebenfalls den Zustand des Systems beeinflussen k\u00f6nnen. Wenn es sich bei dem durch die Zustandsvariablen beschriebenen Objekt beispielsweise um eine elektrische Lokomotive handelt – wenn der Fahrer die Versorgungsspannung f\u00fcr die Motoren erh\u00f6ht, z.B. durch Verringerung des magnetischen Flusses im Erregerkreis, beschleunigt die Lokomotive. Auch im beschriebenen Fall des Roboters kann das bordeigene Navigationssystem Probleme haben, ein Signal an das Steuersystem des Roboters zu \u00fcbermitteln, um die R\u00e4der zu drehen oder anzuhalten, z.B. wenn die Gefahr besteht, dass der Roboter w\u00e4hrend der Fahrt vom Wind umgeweht wird. Wenn diese zus\u00e4tzlichen Informationen \u00fcber die \u00e4u\u00dferen Bedingungen bekannt sind, k\u00f6nnen sie mit Hilfe eines <\/p>\n

k<\/sub>-Vektors ber\u00fccksichtigt werden, so dass die Korrektur in die Vorhersagematrix aufgenommen werden kann:<\/p>\n

Wenn wir davon ausgehen, dass wir auf der Grundlage der Steuersignale (z.B. des F\u00fcllfaktors des Steuersignals f\u00fcr die Motordrehzahl) den erwarteten Wert der Beschleunigung a kennen, erhalten wir ein System von Gleichungen:<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

k<\/sub> ist der Kontrollvektor – bei einfachen Systemen ohne \u00e4u\u00dfere Einfl\u00fcsse k\u00f6nnen diese Komponenten ignoriert werden. Was aber, wenn die vorhergesagte L\u00f6sung immer noch nicht genau genug ist? <\/p>\n

Externe Unsicherheit<\/h3>\n

Der gesamte Vorhersageprozess geht nahtlos weiter, wenn der Zustand des Objekts auf allen ber\u00fccksichtigten Faktoren basiert, einschlie\u00dflich externer Faktoren, deren Auftreten nicht mit den Eigenschaften des Systems selbst zusammenh\u00e4ngt, die sie beeinflussen. Das ist so lange der Fall, wie wir die maximalen Parameter der externen Faktoren kennen, gegen die das System resistent sein wird. Was aber, wenn Faktoren auftreten, von denen wir nichts wissen? Drohnen (wie auch andere Flugzeuge) sind zum Beispiel Windb\u00f6en ausgesetzt, die die Flugbahn st\u00f6ren und sogar eine Kollision mit einem nahe gelegenen Objekt (z. B. einem Baum) verursachen k\u00f6nnen. Ein Roboter mit R\u00e4dern kann w\u00e4hrend der Fahrt ausrutschen, so dass er trotz sich drehender R\u00e4der nicht mehr weiterfahren kann. Da diese Faktoren nicht ber\u00fccksichtigt werden, kann der Algorithmus in der Vorhersagephase versagen, was sogar zu irreparablen Sch\u00e4den am System f\u00fchren kann. <\/p>\n

Um die Wahrscheinlichkeit solcher h\u00f6chst unerw\u00fcnschten Effekte zu erh\u00f6hen, muss f\u00fcr jeden Vorhersageschritt eine zus\u00e4tzliche Unsicherheit in die Berechnung einbezogen werden. Bei der originalen Sch\u00e4tzung wird dann die urspr\u00fcngliche Sch\u00e4tzung um einen Bereich von Zust\u00e4nden erweitert. Die vorhergesagte L\u00f6sung xk-1<\/sub>, wird in den Kovarianzbereich Qk<\/sub> verschoben. Mit anderen Worten, man kann auch sagen, dass externe Faktoren, die eine Quelle zus\u00e4tzlicher Unsicherheit sind, das Rauschen der Kovarianzmatrix Qk<\/sub> bilden. Ein solcher Vorgang f\u00fchrt zu einer neuen Gau\u00dfschen Unsch\u00e4rfe, die eine andere Kovarianz in Bezug auf die urspr\u00fcngliche Gau\u00dfsche Unsch\u00e4rfe, aber denselben Erwartungswert der Zustandsvariablen hat. Anschlie\u00dfend erh\u00e4lt man eine erweiterte Kovarianzmatrix, indem man den Faktor Qk<\/sub> einbezieht: <\/p>\n

\"\"<\/p>\n

Mit anderen Worten: Der aktualisierte ‘beste’ erwartete Wert wird aus dem vorherigen erwarteten Wert unter Ber\u00fccksichtigung der Auswirkungen der externen Bedingungen vorhergesagt. Auch die neu abgeleitete externe Unsicherheit ist das Ergebnis der Kombination der zuvor berechneten externen Unsicherheit mit einer erweiterten Unsicherheit aufgrund des Einflusses der externen Bedingungen. In diesem Stadium k\u00f6nnen wir die Daten von den Messsensoren weiterverarbeiten. <\/p>\n

Ann\u00e4herung an eine messbasierte Sch\u00e4tzung<\/h3>\n

Das zu pr\u00fcfende System kann mit mehreren Messsensoren ausgestattet sein, die die notwendigen Informationen zur Bestimmung seines Zustands liefern. Unabh\u00e4ngig von den Stimulationen, auf die diese Sensoren reagieren, liefern sie die Informationen, die zur Bestimmung der Position und der Geschwindigkeit des Roboters erforderlich sind, so dass indirekte Messungen mit ihnen durchgef\u00fchrt werden. Es ist wichtig zu beachten, dass es eine Abweichung zwischen den Einheiten und dem Ma\u00dfstab der Anzeige und den Einheiten und dem Ma\u00dfstab des verfolgten Zustands geben kann. Daher wird die Beschreibung der Sensoren durch eine Hk<\/sub>-Matrix modelliert. Die Verteilung der Sensormesswerte kann anhand der Gleichungen vorhergesagt werden: <\/p>\n

\"\"<\/p>\n

Einer der gr\u00f6\u00dften Vorteile des Kalman-Filter-Algorithmus ist, dass er gegen die Ungenauigkeit der von den Sensoren vorgenommenen Messungen (aufgrund von Rauschen) immun ist. Sensoren k\u00f6nnen unzuverl\u00e4ssig sein, so dass jeder gesch\u00e4tzte Zustand des Systems das Ergebnis einer Reihe von Parametern sein kann, die von den Sensoren abgelesen werden. Der Kalman-Filter gleicht dieses Problem auf ein Minimum aus. Aus jedem beobachteten Sensordatenwert k\u00f6nnen wir schlie\u00dfen, dass sich das getestete System in einem wohldefinierten Zustand befindet. Aufgrund der Messunsicherheit k\u00f6nnen jedoch einige der vorhergesagten Zust\u00e4nde wahrscheinlicher sein als andere innerhalb des Bereichs der Sensormesswerte. Zu diesem Zweck f\u00fchren wir eine Unsicherheits-Kovarianzmatrix Rk<\/sub> ein, die sich aus dem von den Sensoren verursachten Rauschen ergibt, sowie einen Vektor der mittleren beobachteten Messwerte k<\/sub> .
\nW ten spos\u00f3b uzyskujemy dwa obszary rozmycia Gaussa – pierwszy wynikaj\u0105cy z przewidywanego odczytu, a drugi z rzeczywistego odczytu z czujnik\u00f3w.
\nDzi\u0119ki temu obszar poszukiwa\u0144 optymalnego rozwi\u0105zania znacz\u0105co zaw\u0119\u017ca si\u0119 i ca\u0142y algorytm mo\u017cna wykona\u0107 od nowa w ten sam spos\u00f3b, uzyskuj\u0105c jeszcze bardziej dok\u0142adne, tzn, jeszcze bardziej zgodne z rzeczywisto\u015bci\u0105 wyniki oblicze\u0144 na podstawie uzyskanych wcze\u015bniej danych pomiarowych. <\/span><\/p>\n

Kalman-Verst\u00e4rkung<\/h3>\n

Zur Bestimmung der Matrix, die die Kalman-Verst\u00e4rkung definiert, muss eine eindimensionale Gau\u00df-Kurve verwendet werden, wobei der 2<\/span>i der Mittelwert<\/span> zu ber\u00fccksichtigen sind:<\/span><\/p>\n

\"\"<\/p>\n

Multipliziert man die Gleichungen der Kurven, die die Normalverteilung f\u00fcr den vorhergesagten Zustand und den aus den von den Messsensoren abgelesenen Daten ermittelten tats\u00e4chlichen Zustand darstellen, miteinander, erh\u00e4lt man eine neue Gleichung der Kurve, deren Verteilung den Wertebereich f\u00fcr den gesuchten Zustandsvektor einengt:<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

Unter Verwendung der Matrix-Notation erhalten wir:<\/span><\/p>\n

\"\"<\/p>\n

wobei K die Matrix ist, die die Kalman-Verst\u00e4rkung definiert.<\/p>\n

Endg\u00fcltige Berechnungen<\/h3>\n

Wir erhalten zwei Verteilungen auf der Grundlage der Gau\u00dfschen Verteilung. Die erste ergibt sich aus der vorhergesagten Messung (9.1) und die zweite aus der beobachteten Messung. <\/p>\n

Aus dem Gleichungssystem (9.3) bestimmen wir die Bedingungen, die den gemeinsamen Bereich der Verteilungen (9.1) und (9.2) definieren.<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

Je nach den Erfordernissen der Anwendung kann der gesamte Algorithmus mehrmals wiederholt werden, um noch genauere Ergebnisse zu erzielen.<\/p>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t

\n\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t

Kalman-Filter – FAQ<\/h2>\n
\n
\n

\n