Ohmsches und Kirchhoffsches Gesetz

Ohmsches und Kirchhoffsches Gesetz

Um verschiedene physikalische Phänomene zu beschreiben, sei es in der Natur oder in künstlich geschaffenen Systemen, ist es notwendig, geeignete mathematische Werkzeuge zu verwenden, um sie zu visualisieren.

Zwischen dem 17. und 19. Jahrhundert n. Chr. entwickelte eine Reihe von Wissenschaftlern durch ihre langjährigen Forschungsarbeiten auf dem Gebiet des Elektromagnetismus die grundlegenden physikalischen Gesetze und den mathematischen Apparat, auf dem die Elektrotechnik und verwandte Wissenschaften wie die Elektronik basieren. Zu den Wissenschaftlern, die auf diesem Gebiet eine Schlüsselrolle spielten, gehören Georg Simon Ohm und Robert Gustav Kirchhoff, die die nach ihnen benannten Gesetze der Elektrotechnik entwickelten, die bei der Analyse elektrischer Schaltungen verwendet werden.

Die Ohm’schen und Kirchhoff’schen Gesetze dienen der Bestimmung von Strömen und Spannungen in elektrischen Stromkreisen, und je nach den Eigenschaften des Prüfobjekts können diese Gesetze in verschiedenen Formen auftreten, wobei zusätzliche Faktoren berücksichtigt werden. Der Anwendungsbereich der Ohm’schen und Kirchhoff’schen Gesetze reicht von elektronischen Schaltungen, die mit Spannungen von 3,3 V, 5,0 V oder 12,0 V betrieben werden, über elektrische Haushalts- und Industrieanlagen mit 230/400 V bis hin zu Kraftwerken, Leitungen und Umspannwerken, die mit Spannungen von 110000 V und mehr arbeiten.

In diesem Artikel werden die physikalischen und mathematischen Grundlagen des Ohm’schen und des Kirchhoff’schen Gesetzes vorgestellt und ihre Anwendung in der Praxis erläutert.

Physikalische Größen, die den Ohm’schen und Kirchhoff’schen Gesetzen zugrunde liegen

Um die Grundlagen der Analyse elektrischer Schaltungen zu verstehen, ist die Kenntnis verschiedener physikalischer Größen und ihrer Bezeichnungen und Einheiten unerlässlich. Dazu gehören:

• Strom (bezeichnet mit dem Buchstaben “I”) – die Einheit ist 1A (Ampere) – beschreibt den Fluss einer elektrischen Ladung von 1C (Coulomb) durch einen bestimmten Punkt in einem Stromkreis in 1s (Sekunde). Dies wird durch die folgende Beziehung beschrieben:

I =Q/t (1.1)

wobei:

I – Stromstärke [A];

Q – elektrische Ladung [C] – 1C = 6,24 x 10¹⁸ Elementarladung (Elektron);

t – Zeit [s];

• Die Spannung (bezeichnet mit dem Buchstaben “U”) – die Einheit ist 1V (Volt) – ist die Potentialdifferenz an den beiden Enden eines Stromkreises, die die Arbeit von 1J (Joule) bestimmt, die erforderlich ist, um 1C (Coulomb) von einem Punkt in einem elektrischen Stromkreis zum anderen zu übertragen, was durch die Beziehung ausgedrückt wird:

U =V1 – V2 =W/Q (1.2)

wobei:

U – Spannung [V];

V₁ ^.– elektrisches Potenzial am Anfang des Stromkreises [V];

V₂ ^.– elektrisches Potential am Anfang des Stromkreises [V];

Q – elektrische Ladung [C] – 1C = 6,24 x 10¹⁸ Elementarladung (Elektron).

Die in der obigen Formel erwähnte Differenz der Potenziale V₁ und V₂ besagt, dass in einem Stromkreis ein Stromfluss von einem höheren zu einem niedrigeren Potenzial stattfindet. In der Strömungsmechanik ist eine Analogie für dieses Phänomen der Fluss von Wasser von Bereichen mit höherem hydrostatischem Druck zu Bereichen mit niedrigerem hydrostatischem Druck.

Das Ohmsche Gesetz und seine mathematische und physikalische Bedeutung

Im Jahr 1827 formulierte der deutsche Physiker und Mathematiker Georg Simon Ohm ein physikalisches Gesetz, das die Beziehung zwischen elektrischem Strom und elektrischer Spannung beschreibt und als Ohmsches Gesetz bekannt ist. Es besagt, dass bei konstanter Temperatur der Strom, der durch einen Leiter mit idealem Widerstand fließt, direkt proportional zur Spannung ist, die am Widerstand dieses Leiters anliegt. Unter einem idealen Widerstand versteht man einen Widerstand, dessen Wert sich weder bei einer Änderung des durch ihn fließenden Stroms noch bei einer Änderung der an ihm angelegten Spannung ändert. Daraus folgt, dass die Strom-Spannungs-Kennlinie eines idealen Widerstands (d. h. eines Widerstands ohne Kapazitäten und parasitäre Induktivitäten) linear ist und dass der Widerstand nach dem Ohm’schen Gesetz ein konstanter Proportionalitätskoeffizient zwischen Strom und Spannung ist, der durch die folgende Gleichung ausgedrückt wird:

R =U/I (2.1)

wobei:

R – Widerstand [Ω]

U – Spannung [V]

I – Stromstärke [A]

Die Einheit des Widerstands ist 1Ω (Ohm) – wird an die Klemmen eines Widerstands mit diesem Widerstandswert eine Spannung von 1 V angelegt, so fließt ein Strom von 1 A durch diesen Widerstand. Je nach der gesuchten Größe kann die obige Formel mit einfachen algebraischen Umstellungen umgewandelt werden.

Bestimmung der elektrischen Leistung nach dem Ohmschen Gesetz

Wenn ein elektrischer Strom durch ein Medium mit einem bestimmten Widerstand fließt, entsteht in diesem Medium eine Verlustleistung. Diese Leistung kann mit Hilfe des Ohm’schen Gesetzes leicht berechnet werden, da die elektrische Leistung wie der Widerstand von Strom und Spannung abhängig ist, und zwar gemäß der folgenden Gleichung:

P = UI (3.1)

unter Verwendung einer Substitution, die auf einer Umformung der Formel (2.1) beruht:

U = RI (3.2)

Die Formel (3.1) hat die Form:

P = RI² (3.3)

Außerdem wird der Strom aus Gleichung (2.1) bestimmt:

I = U/R (3.4)

Durch Einsetzen in Gleichung (3.1) erhalten wir die Form:

P=U²/R (3.5)

wobei:

R – Widerstand [Ω];

U – Spannung [V];

I – Stromstärke [A];

P – elektrische Leistung [W];

Die Einheit der elektrischen Wirkleistung ist 1W (Watt). Außerdem unterscheidet man zwischen elektrischer Blindleistung, deren Einheit 1VAr (reactive volt-ampere) ist, und Scheinleistung, die in Volt-Ampere (VA) gemessen wird und die Wirk- und Blindleistung zusammenfasst, wobei diese Leistungsarten bei der mathematischen Beschreibung von Wechselstromkreisen verwendet werden.

Das Ohmsche Gesetz in Wechselstromkreisen mit Erhaltungselementen

Die bisher in diesem Artikel vorgestellten mathematischen Gleichungen haben sich mit Gleichstromkreisen befasst, die mit rein ohmschen Elementen aufgebaut sind, die vereinfacht als die bereits erwähnten idealen Widerstände mit Verlustleistung dargestellt werden. In solchen Schaltungen verbrauchen die Verbraucher aufgrund ihres ohmschen Charakters nur Wirkleistung gemäß der Gleichung (3.1). Betrachtet man das Ohmsche Gesetz für Schaltungen, in denen die Stromquellen Spannungen mit zeitlich variablen Wellenformen liefern (z. B. Sinus-, Rechteck-, Dreieckswellen) und in denen es neben ohmschen Elementen auch kapazitive Elemente gibt, die Energie in einem elektrischen Feld speichern können (üblicherweise als Kondensatoren dargestellt), und/oder induktive Elemente, die Energie in einem magnetischen Feld speichern können (üblicherweise als Induktivitäten dargestellt), dann ist es zur Beschreibung des Ohmschen Gesetzes für solche Stromkreise notwendig, die Impedanz zu verwenden – eine komplexe Größe, die aus einem Realteil in Form des bereits bekannten Widerstands und einem Imaginärteil in Form der Reaktanz besteht:

Z=R+jX (4.1)

wobei:

Z – Impedanz [Ω];

R – Widerstand [Ω];

X – Reaktanz [Ω];

j – gedachte Einheit: j² = -1

Die Reaktanz ist eine Größe, die von der Induktivität, der Kapazität und der Frequenz der Spannungsquelle abhängt, die den Stromkreis versorgt:

X =XL-XC= ωL – 1/ωC (4.2)

während die Beziehung zwischen Winkelpulsation und Frequenz ausgedrückt wird:

ω=2πf (4.3)

wobei:

X – Reaktanz [Ω];

X_L – induktive Reaktanz [Ω];

X_C – kapazitiver Blindwiderstand [Ω];

L – Induktivität [H];

C – Kapazität [F];

ω – Winkelpulsation [rad/s];

f – Frequenz [Hz].

Um das Ohmsche Gesetz für Wechselstrom auszudrücken, werden Strom und Spannung auch als zusammengesetzte Größen verwendet:

Z=U/I (4.4)

Wenn eine Bedingung vorliegt:

ωL =1/(ωC) (4.5)

Zugleich:

Z = R (4.6)

Wenn die Bedingung (4.5) in Schaltkreisen erfüllt ist, die Widerstands- und Reaktanzelemente enthalten, arbeitet der Schaltkreis in einem Zustand der Stromresonanz, in dem, obwohl der Schaltkreis von Natur aus widerstandsbehaftet ist, ein Austausch von elektrischer und magnetischer Feldenergie zwischen den Reaktanzelementen stattfindet. Dieses Phänomen wird u. a. in der Telekommunikation genutzt, um Funkverbindungen zwischen zwei Geräten herzustellen. In Stromnetzen hingegen ist elektrische Resonanz ein unerwünschtes Phänomen und kann bei kapazitiven Spannungstransformatoren für Abrechnungs- und Schutzmessungen zu Schäden an Energieanlagen und erhöhten Messfehlern führen – um dies zu verhindern, werden spezielle Wicklungskonstruktionen verwendet und in Blindleistungskompensationsanlagen Antiresonanzfilter in Form von Drosseln eingesetzt. Aufwändiger werden die dargestellten Zusammenhänge jedoch bei der Analyse von Schaltungen mit nicht-sinusförmigen Wechselsignalen, die unter anderem die Anwendung der Fourier-Transformation und Fourier-Reihen erfordern.

Ohmsches Gesetz – Leitwert- und Admittanzformen

Die Gleichungen (2.1) und (4.4) stellen die gebräuchlichsten Formen des Ohmschen Gesetzes dar. Man kann sagen, dass der Widerstandswert eines Widerstands zum Beispiel beschreibt, wie sehr dieser Widerstand den Stromfluss unter dem Einfluss einer bestimmten Spannung “behindert”. Die inverse Größe für den aktiven elektrischen Widerstand, also den Widerstand, ist der Leitwert, auch aktive elektrische Leitfähigkeit genannt:

G =1/R (5.1)

wobei:

G – Leitwert [S];

R – Widerstand [Ω].

Bei der Beschreibung der Parameter von Wechselstromkreisen werden auch die inversen Größen Impedanz und Reaktanz verwendet. Der Kehrwert des scheinbaren elektrischen Widerstands, d. h. der Impedanz (4.1), ist dann der scheinbare elektrische Leitwert, d. h. die Dielektrizitätskonstante, die ebenfalls eine komplexe Größe ist:

Y=1/Z (5.2)

während der Kehrwert der Reaktanz (4.2) die passive elektrische Leitfähigkeit, d. h. die Suszeptanz, ist:

B = – (1/X) (5.3)

Vervollständigt man die Beziehungen (5.1) und (5.3), so erhält man die Summe aus dem Realteil, dem Leitwert, und dem Imaginärteil, dem Blindwiderstand, d.h. der Admittanz:

Y = G + jB (5.4)

wobei:

Y – Zulässigkeit [S];

G – Leitwert [S];

B – Suszeptanz [S];

j – gedachte Einheit: j²= -1

Die Einheit von Leitwert, Suszeptanz und Admittanz ist 1S (Simens) – benannt nach Ernst Werner von Siemens, einem deutschen Elektroingenieur.

Praktische Anwendung des Ohmschen Gesetzes

Im täglichen Leben nutzen viele elektrische und elektronische Geräte um uns herum das Ohmsche Gesetz nicht nur als ihr grundlegendes Funktionsprinzip als Empfänger oder Quelle von Elektrizität, sondern machen es sich auch funktionell zunutze. Unter den vielen praktischen Anwendungen des Ohmschen Gesetzes ist es erwähnenswert:

• Manuelle Drehzahlregelung des Elektromotors, der das Gebläse antreibt – durch Drehen eines Potentiometers beeinflussen wir die Begrenzung des vom Motor aufgenommenen Stroms, was sich äußerlich als Erhöhung oder Verringerung der Drehzahl des Gebläsepropellers bemerkbar macht. Im Zeitalter der rasanten Entwicklung von Leistungselektronik und elektromechanischen Systemen werden immer häufiger Lösungen mit Halbleiterbauelementen in Drehzahlregelungssystemen eingesetzt;
• Erzielung unterschiedlicher Versorgungsspannungen für elektronische Schaltungen, z.B. in elektroakustischen Anlagen – um die sogenannte Scheinmasse, d.h. eine symmetrische Spannung bei Versorgung mit einer einzigen Spannung für Operationsverstärker zu erhalten, sollte ein Widerstandsteiler an die Versorgungsquelle mit einer Spannung von z.B. 9,0V angeschlossen werden, um eine Spannung von 4,5V zu erhalten;
• Bei der Durchführung von Widerstands- und Reaktanzmessungen an elektrischen Bauteilen und Schaltkreisen ist das Ohm’sche Gesetz von grundlegender Bedeutung für die Funktionsweise von Messgeräten. Bei der direkten Messung des Widerstands eines Widerstands mit einem Digitalmultimeter wird eine Prüfspannung von z. B. 1 V an den Widerstand angelegt, wodurch ein Strom fließt. Ein interner Algorithmus liest (ausgehend von der Abtastung) den durch den Widerstand fließenden Strom und multipliziert ihn mit dem Wert der Prüfspannung. Das berechnete Ergebnis wird auf dem Display des Multimeters angezeigt;
• Bei der so genannten technischen Widerstandsmessung, bei der die Widerstandsmessung indirekt mit Hilfe eines Volt- und eines Amperemeters erfolgt, muss zusätzlich der Innenwiderstand der Messgeräte berücksichtigt werden und sie müssen richtig angeschlossen werden, um korrekte Spannungs- und Strommessungen durchzuführen, wobei zu berücksichtigen ist, ob wir die Parameter für den Empfänger oder für den Generator der Messspannung messen.

Wann versagt das Ohmsche Gesetz?

Obwohl das Ohmsche Gesetz im weitesten Sinne ein gängiges Werkzeug in der Elektrotechnik ist, unterliegt es leider einigen Beschränkungen, die dazu führen, dass es nicht so gut funktioniert wie in Schaltungen mit Elementen und linearen Strom-Spannungs-Kennlinien im stationären Zustand. Das größte Problem besteht in erster Linie in Schaltungen, in denen elektrische Signale in einer Richtung auftreten, wobei Halbleiterelemente wie Dioden und Transistoren verwendet werden, deren größtes Problem die nichtlinearen Eigenschaften sind, die auf das Vorhandensein einer von Null verschiedenen Schwellenspannung am Halbleiterübergang zurückzuführen sind, jenseits derer das Element zu leiten beginnt – bei Silizium-Halbleitern liegt diese in der Regel bei etwa 0,7 V, während bei Germanium-Halbleitern die Leitung beginnt, wenn die Spannung etwa 0,2 V überschreitet. Dies wird dann als Nichtlinearität des Bauteils bezeichnet. Ein ähnliches Problem tritt auch bei der Prüfung des Widerstands eines Lichtbogens auf, dessen Parameter durch umfangreiche Randbedingungen bestimmt werden, die zusätzlich Faktoren wie Temperatur, Druck, elektrische Feldstärkeverteilung und die zeitlichen Verläufe von Lichtbogenstrom und -spannung sowie die Art des Oberwellengehalts in den den Lichtbogen beschreibenden Zeitverläufen berücksichtigen.

Die Kirchhoff’schen Gesetze – ein vielseitiges Werkzeug zur Lösung selbst komplexester elektrischer Schaltungen

Neben dem Ohm’schen Gesetz sind Gesetze, bei deren Anwendung die Topologie eines Stromkreises, d. h. seine Anordnung der Verbindungen, berücksichtigt wird, ein wertvolles Instrument zur Lösung elektrischer Schaltungen. Neben Georg Simon Ohm spielte ein weiterer deutscher Physiker eine Schlüsselrolle auf dem Gebiet der theoretischen Elektrotechnik: Robert Gustav Kirchhoff, der 1845 Gesetze zur Beschreibung von Strom und Spannung in elektrischen Stromkreisen beliebigen Ausmaßes entwickelte, die heute als Kirchhoffsches Stromgesetz (abgekürzt PPK oder KCL) und Kirchhoffsches Spannungsgesetz bekannt sind. Kirchhoff’sches Stromgesetz) und Kirchhoff’sches Spannungsgesetz (abgekürzt NPK oder KVL). Schauen wir uns an, welche Begriffe verwendet werden, um die grafische Struktur elektrischer Schaltkreise und den Ursprung der Kirchhoffschen Gesetze und ihre physikalische Bedeutung zu beschreiben.

Grundlegende Definitionen der Elemente, die die grafische Struktur einer elektrischen Schaltung bilden

Um das Lösen instationärer und stationärer elektrischer Schaltungen mit analytischen und numerischen Methoden unter Verwendung des Ohmschen Gesetzes und der Kirchhoffschen Gesetze zu beherrschen, ist es unerlässlich, die folgenden Begriffe und ihre Bedeutungen zu kennen. Dazu gehören:

• Stromkreis – ein geschlossener, metallischer Weg, der den Fluss von elektrischem Strom ermöglicht;
• Pfad – eine einzelne Leitung, die Elemente des Stromkreises verbindet;
• Knotenpunkt – die Verbindung von mindestens drei Zweigen eines Stromkreises;
• Ein Zweig – ist entweder ein einzelnes Element oder mindestens zwei durch einen Knoten verbundene Elemente;
• Masche – ein offener einzelner Teil eines Stromkreises, der die Elemente enthalten kann, aus denen der Stromkreis besteht.

Kirchhoffsches Stromgesetz

Das Kirchhoffsche Stromgesetz, auch bekannt als “Kirchhoffs erstes Gesetz”, besagt, dass die algebraische Summe der Ströme, die in einen Knoten hinein- und hinausfließen, gleich Null ist, wie in Gleichung (9.1) angegeben. Bei der Analyse von Transienten in elektrischen Schaltkreisen unter Verwendung von Differentialgleichungen mit Anfangsbedingungen wird dieses Gesetz ebenfalls in analoger Form verwendet, mit dem Unterschied, dass es sich auf das Prinzip der Kontinuität der elektrischen Ladung an einem Knotenpunkt in einer endlichen Zeit vor dem Auftreten eines Transienten im Schaltkreis aufgrund einer Änderung der Graphenstruktur des Schaltkreises oder seiner Parameter und nach dem Auftreten des Transienten bezieht.

(9.1)

wobei:

i – i-te der in den Knoten einfließenden Ströme;

k – k-ter der in den Knoten eintretenden Ströme.

 

Kirchhoffsches Spannungsgesetz

Das Kirchhoffsche Spannungsgesetz, auch bekannt als “Kirchhoffs zweites Gesetz”, besagt, dass die algebraische Summe der Spannungsabfälle an den Elementen eines Schaltungsnetzes gleich der Summe der elektromotorischen Kräfte dieser Schaltung ist, wie in Gleichung (10.1) angegeben. In einer anderen Version, die die Spannungsquellen in der Schaltung berücksichtigt, besagt das Kirchhoff’sche Spannungsgesetz, dass die Summe der Spannungsabfälle an den Schaltungselementen und der elektromotorischen Kräfte der Quellen in dieser Schaltung gleich Null ist, wie in Gleichung (10. (2) Bei der Analyse von Transienten in elektrischen Schaltkreisen unter Verwendung von Differentialgleichungen mit Anfangsbedingungen wird dieses Gesetz ebenfalls in analoger Form verwendet, mit der Ausnahme, dass es für das Prinzip der Kontinuität des magnetischen Flusses in einem Netz in einer endlichen Zeit vor dem Auftreten eines Transienten in dem Schaltkreis aufgrund einer Änderung der graphischen Struktur des Schaltkreises oder seiner Parameter und nach dem Auftreten des Transienten gilt.

(10.1)

wobei:

i – i-te der Spannungsabfall in der Masche des Stromkreises;
k – j-te der Spannungsabfall im Stromkreisnetz.

(10.2)

wobei:

h – h-th der elektromotorischen Kraft in der Masche des Stromkreises;
j – j-te der elektromotorischen Kräfte im Stromkreisnetz;
i – i-te der Spannungsabfall in der Masche des Stromkreises;
k – j-te der Spannungsabfall im Stromkreisnetz.